1. Một số vấn đề về chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương

2. Phương pháp đại số tuyến tính trong các thuật toán tìm kiếm cộng đồng mạng

3. Xấp xỉ bao lồi của tập hữu hạn điểm

4. Định lý giới hạn cho các mô hình ngẫu nhiên ứng dụng

5. Bậc khoảng cách Euclide của các tập đại số

Đề tài: Một số vấn đề về chỉ số chính quy củaa lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương

Chủ nhiệm PGS. TS Trần Nam Trung

1. Mục tiêu của đề tài:
  Đề tài nghiên cứu các vấn đề cụ thể sau:
- Vấn đề 1: Đặc trưng sự ổn định của hàm chỉ số chính quy của luỹ thừa hình thức của các iđêan đơn thức không chứa bình phương.
- Vấn đề 2: Chặn chỉ số chính quy của luỹ thừa hình thức của các iđêan đơn thức không chứa bình phương.
2. Nội dung nghiên cứu
Chỉ số chính quy của các iđêan đơn thức hoàn toàn  được xác định khi biết được các đối đồng điều địa phương của nó tại các đa phân bậc, Bài toán này đối với luỹ thừa hình thức của các iđêan phân bậc không chứa bình phương được mô tả thông qua hệ bất phương trình tuyến tính, Đề tài do đó muốn áp dụng các phươnh pháp của quy hoạch nguyên tuyến tính để nghiên cứu Vấn đề 1 và Vấn đề 2 nên trên, nhằm đưa ra được các mô tả tổ hợp từ các tính chất của tập lồi đa diện cho các hàm chỉ số chính quy của các iđêan đơn thức không chứa bình phương

Đề tài: Phương pháp đại số tuyến tính trong các thuật toán tìm kiếm cộng đồng mạng

Chủ nhiệm: TS Đỗ Duy Hiếu
1. Mục tiêu của đề tài:
Nghiên cứu cải thiện tính hiệu quả của thuật toán Louvain, cải thiện tính hiệu quả và độ phức tạp tính toán của thuật toán K-means++.
2. Nội dung nghiên cứu
Một trong những thuật toán rất nổi tiếng trong bài toán tìm kiếm cộng đồng mạng là thuật toán Walktrap [7]. Đầu tiên, các tác giả xây dựng một khoảng cách dựa trên quan sát rằng hai đỉnh trong cùng một cộng đồng thì xác suất đi từ mỗi đình này đến một đỉnh khác bất kỳ qua một số bước sẽ gần bằng nhau. Từ đó, các tác giả đã đề xuất thuật toán Walktrap dựa trên thuật toán phân cụm phân cấp. Thuật toán Walktrap có ưu điểm là tính toán nhanh và có độ chính xác cao. Tuy nhiên, thuật toán này chỉ áp dụng cho đồ thị vô hướng. Trong những năm qua, đã có rất nhiều nghiên cứu mở rộng thuật toán này cho đồ thị có hướng. Nhưng chưa có một thuật toán nào thực sự là một mở rộng tự nhiên của nó. Trong [1], chúng tôi đã sử dụng hitting times và phân bố dừng của bước đi ngẫu nhiên để mở rộng thuật toán Walktrap một cách tự nhiên cho đồ thị có hướng. Hơn nữa, từ đó chúng tôi cũng đề xuất thuật toán NL-PCA (xem trong [1]) dựa trên phương pháp tọa độ hóa các đỉnh và thuật toán K-means. Chúng tôi cũng đã nghiên cứu và đề xuất thuật toán Walktrap tổng quát [5] cho đồ thị vô hướng bằng cách sử dụng bước đi ngẫu nhiên lười tổng quát.
Trong đề tài này, chúng tôi sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa bước đi ngẫu nhiên và phương pháp tiếp cận bằng đại số tuyến tính để đề xuất các khoảng cách, phương pháp tọa độ hóa các đỉnh cho đồ thị có hướng. Từ đó chúng tôi sẽ nghiên cứu cải thiện, mở rộng các thuật toán sau:
- Thuật toán K-means++ [2] là biến thể của thuật toán K-means, cải tiến phương pháp chọn các tâm ban đầu của các cụm. Nó chọn các tâm ban đầu của các cụm bằng cách chọn ngẫu nhiên một điểm dữ liệu đầu tiên, sau đó chọn các tâm tiếp theo dựa trên khoảng cách của chúng đến các tâm đã được chọn trước đó. Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ tìm cách cải thiện thuật toán K-means++ bằng việc tối ưu hóa quá trình khởi tạo tâm ban đầu thông qua việc sử dụng bước đi ngẫu nhiên và modularity.
- Thuật toán Louvain [9] là một thuật toán phân cụm động được sử dụng để phân tích mạng và phân cụm các nút trong đó. Nó hoạt động qua hai bước: (1) Tìm cụm cục bộ bằng cách tối ưu hóa modularity trong phạm vi cục bộ. (2) Tối ưu hóa cụm toàn cục bằng cách biểu diễn các cụm bằng các nút trừu tượng và thực hiện tối ưu hóa modularity trên mạng mới này. Thuật toán Louvain có tính động, có khả năng xử lý mạng lớn và không đồng nhất. Tuy nhiên, nó chưa đưa ra được kết quả phân cụm tối ưu trong nhiều trường hợp. Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ nghiên cứu và cải tiến thuật toán Louvain bằng cách thêm bước tách các cụm cục bộ ngay sau bước (1) của thuật toán để cải thiện tính hiệu quả của thuật toán.

Xấp xỉ bao lồi của tập hữu hạn điểm

Chủ nhiệm: TS. Nguyễn Kiều Linh

Tìm bao lồi của các tập hữu hạn là vấn đề cơ bản trong Hình học tính toán (Computational Geometry). Đây là một đề tài nghiên cứu hấp dẫn không chỉ bởi mục tiêu lý thuyết, mà còn vì khả năng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực quan trọng. Mặc dù có nhiều thuật toán để tính bao lồi chính xác của các tập hữu hạn [36–61], nhưng các thuật toán xấp xỉ rất đáng được quan tâm. Mục tiêu của đề tài này là xây dựng và lập trình thuật toán mới hiệu quả để tính toán xấp xỉ ngoài và xấp xỉ trong của bao lồi, trong đó xấp xỉ ngoài chứa bao lồi và xấp xỉ trong được chứa trong bao lồi, và khoảng cách Hausdorff giữa các xấp xỉ và bao lồi nhỏ hơn hoặc bằng một tham số xấp xỉ δ \delta \geq 0 cho trước. Đặc biệt, nếu chọn \delta= 0 thì thuật toán của chúng tôi sẽ có kết quả là bao lồi chính xác.

Định lý giới hạn cho các mô hình ngẫu nhiên ứng dụng

Chủ nhiệm: TS. Phạm Việt Hùng

1. Mục tiêu của đề tài:
Các định lý giới hạn và tốc độ hội tụ của các định lý này luôn là vấn đề trọng tâm của Lý thuyết xác suất và có nhiều ứng dụng trong Thống kê. Với mỗi ứng dụng cụ thể, ta lại có từng mô hình ngẫu nhiên tương ứng.
Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn và tốc độ hội tụ cho một số mô hình ngẫu nhiên như sau:
-Vấn đề 1: Mô hình chuỗi ngẫu nhiên.
-Vấn đề 2: Mô hình từ tính ngẫu nhiên.
-Vấn đề 3: Mô hình đa thức ngẫu nhiên

2. Nội dung nghiên cứu
 Với ba hướng nghiên cứu chính của đề tài, chúng tôi dự kiến nghiên cứu vào các nội dung cụ thể như sau:
Vấn đề 1: Mô hình chuỗi ngẫu nhiên
1.1. Tìm điều kiện tổng quát để có định lý giới hạn trung tâm cho dạng tổng chuỗi ngẫu nhiên tự chuẩn hóa, thay vì điều kiện độc lập cùng phân phối.
1.2. Xác định các bất đẳng thức Berry-Esseen dạng đều và không đều.
1.3. Nghiên cứu về thông tin Fisher cũng như luật logarithm lặp.
Vấn đề 2: Một số mô hình từ tính ngẫu nhiên
2.1. Nghiên cứu về các bất đẳng thức tập trung cho tổng từ.
 2.2. Ước lượng các tham số trong mô hình như: nhiệt độ ngược, áp suất ngoài.
Vấn đề 3: Mô hình đa thức ngẫu nhiên
3.1. Nghiên cứu về định lý giới hạn trung tâm cho số nghiệm thực của chuỗi ngẫu nhiên với hệ số chuẩn.
3.2. Nghiên cứu về định lý giới hạn trung tâm phổ dụng cho số nghiệm thực của chuỗi ngẫu nhiên với hệ số theo phân phối tổng quát.
3.3. Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của xác suất không có nghiệm thực của chuỗi ngẫu nhiên.

Bậc khoảng cách Euclide của các tập đại số
 

Chủ nhiệm: PGS. TS Nguyễn Tất Thắng
 

Mục tiêu của đề tài
 Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu và phát triển nhóm nghiên cứu (thông qua đào tạo) một số vấn đề thời sự trong Hình học đại số và ứng dụng của chúng trong nghiên cứu lý thuyết kỳ dị, tối ưu và trong một số bài toán thực tiễn.
+ Về nghiên cứu, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán về bậc khoảng cách Euclide của các tập đại số.
+ Về phát triển nhóm nghiên cứu: Đề tài dự kiến đào tạo một học viên đã bảo vệ thạc sĩ làm thực tập nghiên cứu để chuẩn bị thi nghiên cứu sinh, nhằm tạo nguồn nhân lực trẻ theo hướng nghiên cứu của đề tài.

2. Nội dung nghiên cứu
 +  Nghiên cứu bậc khoảng cách Euclidean của các giao đầy đủ, tức là các tập đại số xác định bởi hệ phương trình đa thức có đối chiều bằng số phương trình xác định tập đó. Đưa ra đánh giá cho bậc khoảng cách Euclidean của các giao đầy đủ thông qua thể tích trộn của các đa thức xác định tập đại số.
 + Tính toán một số trường hợp cụ thể cho một số tập đại số được xây dựng tường minh.