Hoạt động khoa học
Đề tài khoa học
- Đề tài: Mô hình tất định và ngẫu nhiên trong Khoa học, Y học và Công nghệ;
- Đề tài: Các phương pháp đại số và tổ hợp cho đồ thị và siêu đồ thị;
- Đề tài: Một số bài toán chọn lọc trong đại số và lý thuyết số;
- Đề tài: Một số bài toán chọn lọc trong lý thuyết tối ưu và điều khiển hệ động lực học
- Đề tài: Định lý trung bình cho những lớp Cegrell f và độ phức tạp tô pô của không gian cấu hình cho mặt cầu với số chiều lẻ
Đề tài: Mô hình tất định và ngẫu nhiên trong Khoa học, Y học và Công nghệ
Chủ nhiệm đề tài: TS Phạm Việt Hùng
Nội dung KHCN của đề tài
1. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu về một số mô hình tất định và ngẫu nhiên cùng các ứng dụng trong Khoa học, Y học và Công nghệ. Với các mô hình tất định, đề tài quan tâm đến sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình đạo hàm riêng thời gian phân thứ, và dáng điệu tiệm cận cho nghiệm của phương trình Navier-Stokes không nén được. Với các mô hình ngẫu nhiên, đề tài quan tâm đến lý thuyết ergodic cho hệ lặp ngẫu nhiên, lý thuyết ergodic ứng dụng trong lý thuyết số tổ hợp, và xác suất vượt ngưỡng đồng thời của các quá trình ngẫu nhiên. Đề tài nghiên cứu các phương pháp phân tích thống kê và ứng dụng để thống kê hoạt động kinh doanh thuốc bảo vệ thực vật.
2.Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài
Trong thực tế, để nghiên cứu các hiện tượng trong khoa học, y học và công nghệ, ta thường mô hình hóa thông qua các phương trình vi phân hay phương trình đạo hàm riêng. Ví dụ, hệ phương trình vi phân SIRS mô hình hóa sự tiến triển của dịch bệnh, hay phương trình Navier-Stokes mô hình hóa chuyển động của chất lỏng. Ngoài ra, để quan sát thêm các tác động của môi trường, các nhiễu ngẫu nhiên thường được xem xét. Vì vậy việc nghiên cứu tính phù hợp của các mô hình đưa ra và nghiên cứu các tính chất nghiệm như sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận, tính ergodic là vấn đề rất đáng quan tâm và có vai trò quan trọng không chỉ trong lý thuyết mà cả trong thực tiễn.
Phương trình đạo hàm riêng phân thứ là một mở rộng của phương trình đạo hàm riêng với bậc đạo hàm nguyên thông thường. Dạng phương trình được đưa ra để có thể mô tả chính xác hơn các hiện tượng trong tự nhiên, tài chính và sinh học. Tuy nhiên rất khó để đưa ra nghiệm giải tích chính xác cho dạng phương trình này. Vì thế nghiên cứu nghiệm yếu của phương trình này là bài toán quan trọng cần phát triển thêm.
Phương trình Navier-Stokes không nén được và phươg trình dạng Boussinesq là các phương trình cơ bản trong lĩnh vực khí động học nhằm mô tả các chất lỏng đẳng hướng. Nghiên cứu : tính chất nghiệm của các phương trình này luôn là câu hỏi trọng tâm của ngành Giải tích.
Lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên được Einstein nghiên cứu từ những năm 1905. Các nhà toán học nhận ra rằng tác động của nhiễu là không tầm thường, ví dụ như các nhiễu có thể ổn định hóa các điểm cân bằng không ổn định và dịch chuyển các giá trị chuyển pha. Nghiên cứu tính ergodic của hệ lặp ngẫu nhiên và tác động của nhiễu với sự đồng bộ hóa là câu hỏi cần nghiên cứu kĩ.
Xác suất vượt ngưỡng đồng thời của các quá trình ngẫu nhiên là câu hỏi nảy sinh từ bài toán thống kê phân tích sự giống và khác nhau trong cấu trúc hoạt động của não ở hai giới nam và nữ. Ngoài ra, nghiên cứu xác suất này cũng là câu hỏi lý thuyết thú vị cần quan tâm thêm.
Ðể phân tích dữ liệu, có rất nhiều phương pháp đã được đưa ra như phương pháp bình phương tối thiểu, phương pháp thành phần chính, phương pháp phân tích hồi quy, phương pháp phân tích sống sót, phương pháp phân tích đa mức độ,… Việc ứng dụng các phương pháp này vào bài toán cụ thể là phân tích hoạt động kinh doanh thuốc bảo vệ thực vật là câu hỏi có tính thực tiễn cao và đáng chú ý.
3. Cách tiếp cận. phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật sử dụng
Sử dụng các công cụ của giải tích hàm, giải tích điều hòa, phương trình đạo hàm riêng, giải tích ngẫu nhiên và thống kê.
Về đầu trang
Đề tài: Các phương pháp đại số và tổ hợp cho đồ thị và siêu đồ thị
Chủ nhiệm đề tài: TS.Trần Nam Trung
Nội dung KHCN của đề tài
1. Mục tiêu của đề tài
Phát triển hướng nghiên cứu về các cấu trúc đại số và tổ hợp thông qua việc phân tích các tính chất của đồ thị và siêu đồ thị, cùng với các kết quả liên quan.
2. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài
Trong những năm gần đây mối liên hệ giữa các cấu trúc đại số và các cấu trúc tổ hợp đã được phát triển sâu rộng và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các chuyên ngành khác nhau của toán học.
Một trong những vấn đề quan trọng là nghiên cứu mối liên hệ giữa các đối tượng đại số liên kết với các đồ thị và siêu đồ thị, như các iđêan cạnh, iđêan phủ hay đại số đường Leavitt, ... Những công trình nghiên cứu gần đây về đề tài này đã thu được nhiều sự quan tâm đặc biệt và đã có nhiều công bố. Nhóm nghiên cứu của chúng tôi đang phát triển những tính toán của các bất biến đại số theo cấu trúc của các đồ thị hay siêu đồ thị này một cách sâu sắc và cụ thể hơn cả về tính chất đại số và cấu trúc tổ hợp.
Cùng với đó chúng tôi nghiên cứu về các cấu trúc của các hệ động lực trên đồ thị một số hệ động lực song song.
3. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật sử dụng
3.1. Cách tiếp cận
Thiết lập mối quan hệ giữa các cấu trúc đại số và cấu trúc của các đồ thị và siêu đồ thị liên quan. Khai thác sâu các tính chất của đồ thị để từ đó rút ra các kết quả trong một số đại số và một số bài toán về hệ động lực.
3.2. Phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật sử dụng
- Sử dụng các kỹ thuật của đại số tổ hợp để viết ra các công thức đại số cụ thể theo cấu trúc của các đối tượng tổ hợp.
- Phát triển các kết quả trên đồ thị vô hướng lên đồ thị có hướng và từ đồ thị không có trọng số lên đồ thị có trọng số.
Đề tài: Một số bài toán chọn lọc trong đại số và lý thuyết số
Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Bích Vân
Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Mục tiêu của đề tài
Chúng tôi tìm hiểu một số bài toán chọn lọc trong đại số và lý thuyết số như sau
a) Nghiên cứu các ứng dụng của Lý thuyết Nevanlinna cho các hàm phân hình: Chúng tôi tập trung vào việc nghiên cứu bài toán xác định duy nhất hàm phân hình dưới điều kiện về đa thức đạo hàm. Nghiên cứu phân bố giá trị của các đa thức đạo hàm. Mở rộng kết quả của Mue cho đa thức vi phân dạng tổng quát hơn;Đưa ra mối quan hệ giữa hàm đếm và hàm đặc trưng trong lý thuyết Nevanlinna.
b) Hàm zêta cổ điển là một trong những đối tượng trung tâm của toán học trong hơn 100 năm qua. Trong những năm gần đây, có một số kết quả lý thú xung quanh các đối tượng tương tự, được xây dựng nên từ các trường có đặc số dương (thay cho trường các số hữu tỉ như đối với hàm zêta cổ điển). Chúng tôi sẽ tìm hiểu các tiến bộ đạt được trong hướng nghiên cứu này. Một cách cụ thể hơn, chúng tôi sẽ tìm hiểu về xây dựng L-hàm của Pellarin và một số kết quả đạt được về các giá trị đặc biệt của chúng.
c) Nghiên cứu cấu trúc của thương pro-p cực đại của nhóm Galois tuyệt đối.
d) Đa tạp cát tuyến bậc cao của một số đa tạp xạ ảnh
e) Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của các nhóm (hầu tựa đơn) hữu hạn.
f) Nghiên cứu các module đơn phân bậc cảm sinh trên đại số Steinberg.
g) Nghiên cứu hàm độ sâu và chỉ số chính quy của lũy thừa thường và lũy thừa hình thức của idean. Cố gắng trả lời một số câu hỏi mở về các hàm độ sâu và chỉ số chính quy của các lũy thừa của idean trên vành đa thức.
2. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài
a) Hướng nghiên cứu này đã được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm và thu được nhiều kết quả quan trọng.
b) Các L-hàm trên các trường đặc số dương đã được nghiên cứu từ nhiều góc độ khác nhau. Trong lĩnh vực mà đề tài quan tâm, có thể kể đến các xây dựng và kết quả của Carlitz trong những năm từ 1930-1970 của thế kỷ trước, và sau đó là các đóng góp của Goss, Thakur, Anderson trong những thập kỷ 80 và 90.
Vào năm 2011, F. Pellarin xây dựng một lớp các L-hàm và thiết lập được một số các tính chất của chúng. Công trình đã thu hút được sự quan tâm của khá nhiều nhà toán học trên thế giới và những năm gần đây đã chứng kiến khá nhiều tiến bộ về lý thuyết các L-hàm trên trường đặc số dương.
c) Nhóm Galois tuyệt đối và thương pro-p cực đại của nó là những đối tượng quan trọng trong Toán học. Cho F là một trường và gọi G(p) là thương pro-p cực đại của nhóm Galois tuyệt đối của F. Các công trình của Kawada, Demushkin, Serre và Labute cho phép ta mô tả nhóm G(p) qua phần tử sinh và quan hệ, khi F là trường địa phương chứa căn nguyên thủy bậc p. Các kết quả này chỉ ra rằng quan hệ r của G(p) có dạng đặc biệt. Kết quả gần đầy chỉ ra rằng, khi ta biến dạng quan hệ r một chút, thì ta sẽ nhận được những nhóm mà không bao giờ đẳng cấu thương pro-p cực đại của nhóm Galois tuyệt đối của bất kỳ trường nào (mà chứa căn nguyên thủy bậc p).
d) Đa tạp cát tuyến là một trong những chủ đề được quan tâm và nghiên cứu bởi các nhà hình học đại số Ý vào thế kỉ 19. Gần đây các quan tâm của các nhà hình học đại số đối với đa tạp cát tuyến tăng nhanh. Đa tạp cát tuyến có ứng dụng trong một số chuyên ngành toán học thuần túy như thống kê đại số đồng thời có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống như khoa học máy tính, sinh học… Thông thường việc tính toán với đa tạp cát tuyến rất khó.
e) Khi tìm hiểu bảng đặc trưng của các nhóm hữu hạn, có thể nhận thấy rằng không có đặc trưng bất khả quy bậc lẻ có trường giá trị là Q ghép thêm căn của 2 hoặc -2. Mặt khác, có thể thấy mở rộng của Q bởi căn của -3 là trường giá trị của đặc trưng tuyến tính của nhóm cyclic cấp 3. Sự quan sát này cho thấy, trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy của nhóm hữu hạn có mang những tính chất đặc biệt, thú vị và cần có những sự nghiên cứu trên các đối tượng này. Một số kết quả về tính chất này được I.M. Isaacs, M.W. Liebeck, G. Navarro, P.H. Tiep đưa ra năm 2019.
f) Với một vị nhóm ample G và mỗi phần tử u trong không gian đơn vị của G B. Steinberg đã xây dựng các hàm tử cảm sinh ( ) và hàm tử hạn chế ) giữa phạm trù các module trên đại số Steinberg và các module trên đại số nhóm đẳng hướng của u. Chúng tôi sẽ chứng minh phiên bản phân bậc các tính chất của các hàm tử này và một số kết quả liên quan, chẳng hạn như mỗi module đơn phân bậc phổ trên đại số Steinberg của một vị nhóm ample phân bậc đều có dạng , trong đó u là một phần tử thuộc không gian đơn vị của vị nhóm đó, N là một module đơn phân bậc trên đại số nhóm đẳng hướng của u. Khi áp dụng các kết quả này cho đại số đường Leavitt, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng các module đơn phân bậc trên đại số đường Leavitt được xây dựng bởi Hazrat-Rangaswamy bằng cách sử dụng hệ phân nhánh đại số E đều là các module phân bậc cảm sinh. Nói riêng, chúng tôi sẽ chứng minh tất cả các module đơn Chen (không phân bậc) đều là các module đơn cảm sinh.
g) Cuối những năm 1970, Brodmann chứng minh rằng hàm độ sâu của lũy thừa thường của idean trên một vành địa phương luôn là hội tụ. Từ đó đến nay, đã có rất nhiều nghiên cứu về các tính chất đại số và đồng điều tiệm cận của lũy thừa của idean. Ví dụ, Cutkosky-Herzog-Trung và Kodiyalam chứng minh vào khoảng 1999-2000 rằng chỉ số chính quy của lũy thừa thường của idean thuần nhất trên một vành đa thức là một hàm tuyến tính với mọi lũy thừa đủ lớn.
Trong đề tài này, chúng tôi tập trung vào hai câu hỏi mở gần đây về hàm độ sâu và hàm chỉ số chính quy. Thứ nhất là giả thuyết của Herzog-Hibi (2005), nói rằng mọi hàm hội tụ không âm đều là hàm độ sâu của một idean trên một vành đa thức nào đó. Thứ hai là câu hỏi của Minh- T.N. Trung (2018), nói rằng phải chăng hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của một idean đơn thức không chứa bình phương là hàm tuyến tính với mọi lũy thừa đủ lớn? Giả thuyết Herzog-Hibi đã được khẳng định cho lớp các hàm hội tụ không giảm. Câu hỏi của Minh-T.N. Trung có câu trả lời khẳng định cho idean Stanley-Reisner của các phức đơn hình matroid.
3. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật sử dụng
a) Sử dụng các kiến thức trong giải tích phức, lý thuyết số,…
b) Chúng tôi sẽ tìm hiểu xây dựng, các kỹ thuật tiêu biểu trong nghiên cứu các L-hàm trên trường đặc số dương. Chúng tôi hy vọng rằng trong quá trình đó, có thể đưa ra một số tiến bộ trong các kỹ thuật đó, đồng thời quan tâm và giải quyết một số vấn đề nảy sinh trong lý thuyết các L-hàm trên trường đặc số dương.
c) Sử dụng lý thuyết Galois và xây dựng mở rộng Galois.
d) Nghiên cứu một số tính chất cơ bản của đa tạp cát tuyến bậc cao của một số đa tạp đặc biệt như Đa tạp Veronese, Đa tạp Grassmannian và Đa tạp Segre, hướng đến mở rộng cho các đa tạp xạ ảnh
e) Tìm hiểu về tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy của các nhóm (hầu tựa đơn – almost quasisimple) hữu hạn.
f) Sử dụng lý thuyết biểu diễn, lý thuyết phạm trù, lý thuyết về module phân bậc.
g) Với giả thuyết của Herzog-Hibi, chúng tôi tập trung xây dựng các hàm độ sâu hội tụ không tăng, và xây dựng hàm độ sâu nhận giá trị 0,0,...0,1,0,..., tức là nhận giá trị 0 khắp nơi ngoại trừ một vị trí. Nếu các xây dựng này thành công thì có thể chỉ ra rằng giả thuyết Herzog-Hibi là đúng. Hơn nữa, ngoài việc giải quyết giả thuyết Herzog-Hibi, có thể tập trung nghiên cứu việc đặc trưng hàm độ sâu của các idean đơn thức không chứa bình phương. Đây là câu hỏi có thể khó khăn hơn nhiều, vì ví dụ của các idean đơn thức không chứa bình phương với hàm độ sâu tăng nói chung chỉ tồn tại trong vành đa thức có chiều khoảng 10 trở lên (ví dụ khá nổi tiếng của Kaiser-Stehlik-Skrekovski năm 2014 tồn tại trong chiều 12).
Với câu hỏi của Minh-T.N. Trung, chúng tôi nghiên cứu một lớp idean đơn thức không chứa bình phương đơn giản xuất phát từ lớp các đồ thị, đó là lớp idean phủ của đồ thị. Có thể chứng minh hàm chỉ số chính quy của lũy thừa của các idean phủ là hầu tuyến tính với chu kỳ 2. Chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu xem liệu có tồn tại ví dụ của hàm chỉ số chính quy thực sự hầu tuyến tính với chu kỳ 2 hay không. Công thức Takayama liên hệ đối đồng điều địa phương của idean đơn thức với đồng điều đơn hình rút gọn của các phức đơn hình là công cụ đắc lực trong nghiên cứu này.
4. Hợp tác quốc tế thực hiện đề tài (nếu có):
a) GS William Cherry (North Texas University) và GS Julie Wang (institute of Mathematics, taiwan)
d) Hợp tác cùng nhóm một số nhà toán học tại Hàn Quốc và Mỹ.
g) TS. Hà Huy Tài (ĐH Tulane, Mỹ) và TS. Seyed Amin Seyed Fakhari (Iran)
Về đầu trang
Đề tài: Một số bài toán chọn lọc trong lý thuyết tối ưu và điều khiển hệ động lực học
Chủ nhiệm đề tài: GS. TSKH Vũ Ngọc Phát
1.Mục tiêu của đề tài
- Nghiên cứu các tính chất ổn định và điều khiển cho các hệ động lực mô tả bởi các hệ phương trình vi phân/sai phân và điều khiển suy biến: Ổn định hóa, Điều khiển H-infinity; Tính điều khiển được (bán kính điều khiển được) các hệ có nhiễu cấu trúc;
- Nghiên cứu và phân tích một số nguyên lý/thuật toán giải một số bài toán tối ưu: Nguyên lý cực đại các bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc; Mô phỏng bài toán tăng trưởng tối ưu trong toán kinh tế; Bài toán tối ưu (bài toán dòng minimax, cân bằng giả đơn điệu) trên tập nghiệm hữu hiệu; Điều kiện tối ưu và giải tích Mordokhovic; Thuật toán hybrid gradient, thuật toán bao lồi giải bài toán phân bổ; Điều kiện cần bậc hai cho hệ elliptic tham số với ràng pha trộn; Điều kiện tối ưu cho một số lớp các hệ phương trình đạo hàm riêng.
2 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài
Các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ và suy biến (fractional-order systems, singular systems) xuất hiện trong nhiều mô hình kĩ thuật. Vấn đề nghiên cứu định tính cho các hệ này và ứng dụng nó trong các bài toán điều khiển đã và đang là vấn đề nghiên cứu thời sự và đã nhận được các kết quả sâu sắc được trình bày trong các công trình tiêu biểu đã công bố trong và ngoài nước trong 10 năm gần đây. Ngoài ra, các bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái là những mô hình quan trọng và được nghiên cứu bằng các phương pháp và thuật toán hữu hiệu khác nhau: phương pháp biến phân giới nội, phương pháp hàm đo được theo Borel, tích phân Lebesgue-Stieltjes, độ đo không âm trên σ-đại số các tập Borel, Định lý biểu diễn Riesz cho không gian các hàm liên tục, v.v… Nhiều kết quả quan trọng và hướng nghiên cứu cũng đã được công bố trong và ngoài nước trong nhiều công trình (bài báo nghiên cứu, sách chuyên khảo, ...).
3. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật sử dụng
Sử dụng những kiến thức cơ sở trong các lĩnh vực toán học chuyên ngành: giải tích toán học, phương trình vi-sai phân, phương trình đạo hàm riêng, đại số tuyến tính, giải tích hàm, tối ưu hoá và các kết quả mới hiện đại trong lý thuyết ổn định hữu hạn. Sử dụng các hàm có biến phân giới nội, các hàm đo được theo Borel, tích phân Lebesgue-Stieltjes, độ đo không âm trên σ-đại số các tập Borel, Định lý biểu diễn Riesz cho không gian các hàm liên tục.
Đề tài: Định lý trung bình cho những lớp Cegrell f và độ phức tạp tô pô của không gian cấu hình cho mặt cầu với số chiều lẻ
Chủ nhiệm đề tài: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí
Nội dung KHCN của đề tài
1. Mục tiêu của đề tài:
- Thúc đẩy hợp tác nghiên cứu theo hướng Giải tích và Hình học;
- Nghiên cứu những tính chất của lớp Cegrell F;
- Nghiên cứu một số tính chất cho không gian cấu hình của mặt cầu.
2. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài:
Trong lĩnh vực Giải tích có 2 hướng lớn cần quan tâm là Giải tích phức và Phương trình vi phân. Các lĩnh vực này có liên quan chặt chẽ với một số hướng trong lĩnh vực Hình học, chẳng hạn như: Hình học vi phân, Lý thuyết Kỳ dị của các ánh xạ, Lý thuyết các bất biến. Những hướng này đều có các cán bộ nghiên cứu ở 2 phòng Giải tích và Hình học theo đuổi.
Một trong những lớp đóng vai trò quan trọng trong giải tích phức là lớp Cegrell F. Những lớp này đã được một số nhà toán học trong và ngoài nước theo đuổi trong những năm gần đây. Dự kiến chúng tôi sẽ có kết quả công bố về hướng này.
Một vấn đề chúng tôi quan tâm nữa là nghiên cứu những tính chất của những vật hình học đối xứng chẳng hạn như hình cầu, ...Gần đây, những nhà nghiên cứu cũng đã có những kết quả về độ phức tạp của không gian cấu hình của hình cầu. Dự kiến chúng tôi mở rộng một số kết quả đã có trong hướng này.
3. Cách tiếp cận, pháp nghiên cứu và kỹ thuật sử dụng
10.1. Cách tiếp cận:
Nghiên cứu trạng thái gần biên của các hàm thuộc lớp F thông qua việc đánh giá thể tích phần gần biên của các tập mức. Đồng thời, dựa trên các đánh giá thể tích, tìm ra điều kiện đủ để một hàm đa điều hòa dưới âm thuộc vào lớp F..
3.2. Phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật sử dụng:
-Sử dụng các tính chất đã biết về lớp F;
-Sử dụng phương pháp xấp xỉ;
-Sử dụng nguyên lý so sánh và các đánh giá về tích phân của toán tử Monge-Ampère.
